難解的數學謎題！「黃鐘不能還原」(圖)

音樂、曆法與度量衡在古人眼中是和諧相通的，而不是毫不相干的學科
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數百年前，明朝皇族中出生了一位音樂奇才，他解決了東、西兩方在音律上的一道巨大的謎題，而這套解題理論至今仍被廣泛應用在世界各地的鍵盤樂器上，因此他被譽為鋼琴理論的鼻祖。

音律是古代制度的基石

「凡神人以數合之，以聲昭之，數合聲和，然後可同也。」(《國語》)古人很早就察覺到「律」與「數」合和的關係。以今日的科學觀念來看，音樂、曆法與度量衡三者是毫不相干的學科，但是在古人眼中它們卻是和諧相通的，而音律更是後二者的根本。

傳說黃帝命伶倫作律，伶倫依據鳳凰的鳴叫聲製作出十二根笛子，完成了十二律呂。關於十二律呂的名稱，《國語》寫道「六律」為黃鐘、太簇、姑洗、蕤賓、夷則、無射；「六呂」為大呂、夾鍾、仲呂、林鐘、南呂、應鐘。陽曰律，陰曰呂，律呂與陰陽二氣是相通的。

《禮記》中描述了一年十二個月與十二律呂相對應的關係：孟春之月，律中太簇；仲春之月，律中夾鐘……季冬之月，律中大呂。鄭玄註解：將每個律管中以葭灰填實，當某個月份到臨時，與之相應的律管中的葭灰就會飛動起來，叫做「吹灰」，因此藉由律呂可以探測時令節氣的變化。

十二月循環往復，十二律也循環交替，從周代至秦朝都以冬至（十一月）為歲首，作為節氣循環的起點。十一月對應黃鐘，屬宮音，律之始也，每當一個輪迴結束後必須返回到原點，然後再開始一輪新的循環，在律學上稱為「返宮」。但是古人卻遺憾地發現，每一次的循環都無法完美地回到宮音上，造成「黃鐘不能還原」的問題。

巨大的難解之謎

「五行四時十二月，還相為本也。五聲六律十二管，還相為宮也。」（《禮記》）無法精準地返回到宮音是東、西方在音律學上共同遇到的難題。中國古人以天人合一的觀念在探索音律，如果音律無法與上天和諧同一，久而久之就會禮崩樂壞，社稷將無法長治久安，為此歷朝歷代的儒者莫不汲汲實現音律返宮的理想。

返宮的問題與生律的方法有關。《管子》首見談論五聲（宮商角徵羽）的定律方法，稱為「三分損益法」。先以黃鐘律管為本，輪流乘上2/3（三分損一）及4/3（三分益一）得到另外四聲（管），而確立五聲。《呂氏春秋》中八度音程內的十二律也是用同樣的方法取得的。(十二律對應西方的唱名為：do、#do、re、#re、mi、#mi、#fa、so、#so、la、#la、si）

古人以律管長度的比例來計算音程，當兩根律管的長度比為2：1時，正好是一個八度音程，例如《管子》載「主一而三之（1×3），四開以合九九（3⁴=81）」，黃鐘之宮為81，屬中音do，長度減為一半得40.5，即高音do，稱為清黃鐘；但是以三分損益法算出的清黃鐘的數值卻是39.9549，與40.5有小的差異，造成十二律在返宮上的缺憾。

這個缺憾在音樂演奏上有甚麼影響？當音律沒有辦法回歸到原點，再重新出發後就會產生音差，音差看似很小，但若是在一個很寬廣的音域內，經過幾次轉調後，跑音就會很明顯了。

神乎其技的數學精算

漢代的京房、南北朝的錢樂之和何承天、隋唐五代的劉焯和王樸、宋代的蔡元定等人，在解決返宮的問題上都勞而無功，直到明萬曆年間，朱元璋的九世孫朱載堉提出了「新法密率」（十二等程律），才徹底地解決了黃鐘不能還原及實現旋宮轉調、週而復始的理想。

朱載堉完成了令人嘆為觀止的數學計算，他將一個八度音程分成等比的十二份，讓任何兩個相鄰的律之間的音程相等。在那個沒有計算機的時代，他自創了九九八十一檔、長達幾米的雙排大算盤，計算出¹²√2得1.059463094359295264561825（每兩個相鄰單音間的比例），精準到小數點後24位，找到能夠返宮的奧義。他所創建的音律體系，至今為止仍主宰著世界各地鍵盤樂器的靈魂。

朱載堉本身是位文理精通的奇才，融會天文、曆法、數學、舞蹈及樂理等領域。他在研幾探賾的路上，啟悟到大道至簡至易的道理，他寫道：「以淺近之辭，發揮高深之理，以幽微之數，研究迂闊之學，得其精而忘其粗。」而後，朱載堉的律學研究很可能被西方傳教士利瑪竇傳到了歐洲，成為西方音樂體系重要的定律基準之一。