一些关于中国古代术数的数学理念的札记 （四）

四、

关于二、三、四、五等基本数字的运算内涵。

这里的二、三、四、五的数字内涵跟现代思维的数字内涵不是一回事情。我们先从经学的角度去侃侃。比如，在汉朝许慎《说文解字》中，对于

“一”解释是：“惟初太始，道立于一，造分天地，化成万物。”
“二”解释是：“地之数也，从偶一。”
“三”解释是：“天地人之道也。”
“四”解释是：“阴数也。象四分之形。”
“五”解释是：“五行也。从二，阴阳在天地间交午也。”
“六”解释是：“易之数，阴变于六，正于八。”
“七”解释是：“阳之正也。从一，微阴从中里出也。”
“八”解释是：“别也，象分别相背之形。”
“九”解释是：“阳之变也。象其屈曲究尽之形。”
“十”解释是：“数之具也。—为东西，│为南北，则四方中央备矣。”

我们看到，除了“八”字的解释是根据字体的形状作出的以外，其它数字的解释基本上是和《易》、数术内涵紧密相关。这些个内涵应该在数学思想中做深刻的研究。而笔者在下面从另一个相似的角度说明。

首先，关于“一”，在《道德经》里，也经常使用“一”字，其内涵与“道”的内涵非常接近，有时互相替代，这和许慎的《说文解字》解释大致相同。刚才引用的 “道生一，一生二，二生三，三生万物”，就表达了。而许慎的《说文解字》主要来自于儒家的思想，这说明道家思想和儒家思想有一定的关联和一致性。

其次，关于“二”，我们也经常把“二”和“阴阳”（在《周易》里叫“两仪”）事物等同；而“三”则于“叁才”（即：天地人）相关；“四”可以和“四时”（即：春夏秋冬）或者“四象”（即：太阳、少阳、太阴、少阴）相配；“五”可同“五行”（即：金木水火土）相等。

那么，对于熟悉中国古代文化的人来说，我们可以很明显的進一步指出：

上古的《周易》的阴阳文化表现了“二”的运算规则；
扬雄的《太玄》的叁才文化表现了“三”的运算规则；
邵雍的《皇极经世书》的四象文化表现了“四”的运算规则；
司马光的《潜虚》的五行文化表现了“五”的运算规则。

关于扬雄的《太玄》是模仿《周易》而写的，这是人们都认识到的。邵雍说：“易有算数，三而已；参天者三三而九，两地者倍三而六。参天两地而倚数，非天地之正数也。倚者拟也，拟天地正数而生也。”“历不能无差。今之学历者，但知历法，不知历理。能布算者，落下闳也，能推步者，甘石公也。落下闳但知历法，扬雄知历法又知历理。”“落下闳改颛帝历为太初历，子云准太初而作《太玄》，凡八十一卦，九分共二卦。”“七七四十九，大衍之用数也，八八六十四，卦数也，九九八十一，《玄》、《范》之数也。”（《范》是指《尚书》的《洪范》篇——笔者注）“《太玄》九日当两卦，余一卦当四日半。”“扬雄作《玄》，可谓见天地之心者。”（皆出自《观物内篇》）可见，扬雄深得三之数。

邵雍使用“加倍法”，在《周易》的“二”的运算基础上，建立了“四”（即2×2 =4）的运算规律【注5】；实际上这个《皇极经世书》完全是《周易》的思想的進一步复杂化的演算模式，和《周易》是一个体系的内涵。这种“加倍法”在历史上有过先例：如《周易》自身把八卦变成六十四卦，取八八六十四的数（即8×8=64）；再如汉朝的《焦氏易林》里把六十四卦進一步加倍，得出四千又九十六卦（即64×64=4096）。当然在《皇极经世书》里也有许多邵雍自己独创的内涵。例如：“元会运世”，凡一世三十年，一运十二世，一会三十运，一元十二运，故一元当十二万九千六百年。其算式如下：

1元=12会=360运=4320世=129600年
1会=30运=360世=10800年
1运=12世=360年
1世=30年

易学家潘雨廷在《读易提要·邵雍〈皇极经世书〉提要》篇中认为：“按邵子之历以十二、三十相间为周期。十二者，地支也；三十者，天干三周也。故其本犹六十甲子。”【注6】所以说，邵雍的“数学”思想深受扬雄《太玄》及术数文化的影响和启发。

那么，司马光同样也受到扬雄和邵雍的思想的影响，才制作出《潜虚》来的，并和扬雄的《太玄》有异曲同工之处。实际上，如果仔细研究，则会发现，司马光的学术与邵雍的学术很类似。如史学上，司马光有《资治通鉴》，邵雍有《皇极经世》；哲学上，司马光有《潜虚》，邵雍有《观物篇》及《渔樵问对》等；音韵学上，司马光注重“五”分法，邵雍则是“四”分法等等。这种类似的情况，说明了二人的思想关系确实符合史书记载的他们曾经有长时间的密切交往的事实。

另外，据敦煌莫高窟的发现，至少在唐朝时代就有了《灵棋经》；到了元末明初的刘伯温为其作注，因而大行于世。刘基《灵棋经解序》认为：“灵棋之式，以三为经，以四为纬。……灵棋，象易而作也，非精于易者不能也。予每喜其占之验……”。可见，“灵棋”是数字“三”和“四”的结合体，并同样和《周易》有着仿制的内涵关系在其中，道理如同《太玄》、《潜虚》。

可以总结的说法就是，在《周易》文化的影响下，后人根据了《周易》的数学体系模式，可以進一步发明或者发现与《周易》完全相似的数学体系。这些体系虽然从学理角度来说是易文化变化或派生出来的，但仍然具备自身独立的严格性、完整性和体系性。这也符合了“神无方而易无体”的玄学思想。这也证明中国的易文化影响下的数学体系模式是在不断的变化的，不断的有继承发展的。