算術漫談：八卦中的數字規律（圖）

說起八卦，對中國人來說，實在是太熟悉了，歷代的數術文化都在運用八卦演易。

在古代的時候，人們一直是將八卦配上數字使用，常見的有先天八卦卦序數，將八卦映射到從一開始的八個數；也有後天八卦配上洛書九宮數，這個映射多了點內容，因為八卦配九數，那要求有個卦要對映兩個數字。

有個非常實際的例子，我們搜索正見網針灸類文章，有一篇《中醫基礎：靈龜八法》，這篇文章講的就是後天八卦配上洛書九數，結果在針灸中有著奇妙的運用。

和所有的中國數術文化一樣，八卦同樣只運用九數，沒有複雜的計算，更談不上近代的西方數學。

那麼，八卦在西方數學眼中會是什麼樣的呢？不用太多的例子，我們只蒐集兩個非常有趣的數字規律，涉及的數學內容，在西方文化中都是極具典範意義的。

規律之一：二進位與陰陽爻

西方人，萊布尼茲發明瞭二進位，這個方法只用0和1兩個數碼表示數。比如，六十四表示為1000000，三十二表示為100000。對今天的人來說，這是電腦數學。

萊布尼茲的時代，正是中國的清朝。那時候，有個傳教士在中國，給萊布尼茲寫了封信，信裡面畫了伏羲六十四卦方圓圖。

萊布尼茲看了後，得出的看法是，他所發明的二進位竟然在更古老的時候，就被東方的聖人所認識。

具體的內容，看上去很簡單，將陽爻換成1，陰爻換成0，那麼八卦就成了二進製表示數。按照這個辦法，結果就將自下而上的卦爻轉換成了自左至右的數字。

乾卦，表示111；兌卦，表示110；
離卦，表示101；震卦，表示100；
巽卦，表示011；坎卦，表示010；
艮卦，表示001；坤卦，表示000。

這樣，八卦就演變成了二進位中全部的三位數。類似的，六爻卦有六十四個，正好表示了二進位中全部的六位數。

萊布尼茲的這個發現非同小可，他甚至說：

現在如有一聖人欲選擇一優秀民族，加以獎勵，那麼，他的金蘋果的賜與，一定會落到中國人的身上。[1]

規律之二：八週期與黃金比

在西方歷史上，人們很早就認識了黃金比，近似的數值是0.618。這個數字經常出現在一些藝術作品中。黃金比的準確數值，是個不循環的無限小數，可以有分數來近似的表示。

和黃金比相關的是一個著名的數列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，這個數列可以無止境的寫下去，規律是相鄰的兩個數，其和正好是緊接在後面的一個數。
0+1=1；1+1=2；1+2=3；2+3=5；......
這個數列被稱作斐波那契數列，任取相鄰的兩個數，前一個與後一個的比值可以近似的表示黃金比，而且越靠後，越接近黃金比的真實值。

實際演算正是如此：1/2=0.5；3/5=0.6；8/13=0.61538...；
89/144=0.618055...；987/1597=0.618033...；
黃金比=0.618033...。

非常有趣的是，這個數列竟然可以和八卦溝通上。在"規律之一"的基礎上，將每個卦的陰爻數目（或陽爻數目）羅列出來。實際上，相當於統計那些三位數中0與1的個數。

乾卦，表示111，陽爻三，陰爻零；
兌卦，表示110，陽爻二，陰爻一；
離卦，表示101，陽爻二，陰爻一；
震卦，表示100，陽爻一，陰爻二；
巽卦，表示011，陽爻二，陰爻一；
坎卦，表示010，陽爻一，陰爻二；
艮卦，表示001，陽爻一，陰爻二；
坤卦，表示000，陽爻零，陰爻三。

按照先天八卦的順序，從乾卦開始，反時針方向排列八卦，順序如下：乾卦、兌卦、離卦、震卦、坤卦、艮卦、坎卦、巽卦，巽卦過了回到乾卦，如此構成環狀排列。

現在，可以寫出八卦和上面數列的對照表了。

乾卦，表示111，陰爻零，0，21，987
兌卦，表示110，陰爻一，1，34，1597
離卦，表示101，陰爻一，1，55，2584
震卦，表示100，陰爻二，2，89，4181
坤卦，表示000，陰爻三，3，144，6765
艮卦，表示001，陰爻二，5，233，...
坎卦，表示010，陰爻二，8，377，...
巽卦，表示011，陰爻一，13，610，...

這張表的要點在於，每行寫入的數，除以3的餘數，正好是該行卦中陰爻的數目。其中陰爻為零和陰爻為三，在同余意義下等效，都表示該行的數正好是3的倍數。

八卦是東方人得天獨厚的文化，站在西方數學角度來看，竟然也是如此有趣。

參考文獻

[1] [日]五萊欣造著 《儒教對於德國政治思想的影響》劉百閔、劉燕谷譯 商務印書館，1938.260）