谁是那个倒霉蛋儿：北京上牌平均需要无穷年

北京的治堵方案终于出台——购买机动车必须先摇号，每月只“放号”2万个。想买车的朋友们可就慌了：如果一辈子都摇不中该咋办？市交通委副主任新闻发言人李晓松解释说，“每月一次摇号机会，没中的人可以一直在摇号池里摇号，我相信肯定会摇中。”

细想一下就会发现，这并不能解决问题：如果所有没中的人都会一直留在摇号池，摇号池中的号码就会越积越多，中奖概率也越来越低。按照每月新增5万人申请摇号来算[1]，首月中奖概率高达2/5=40%，剩下的3万人继续留在摇号池中；到了第二个月，又会新增5万人，因此摇号池中的号码会增加到8万，中奖率降低到了25%。照这样推下去，到了第6个月，中奖率会降到10%，一年之后中奖率会降到5%以下。

摇号上牌可谓是真正的人品大比拼，如果第一个月就申请了摇号，一年内摇中的概率有八成，剩下两成的倒霉蛋只能面对越来越渺茫的希望仰天长叹。自然，我们想到了一个有趣的问题：如果第一个月就申请了摇号，那么平均需要多少年才能中奖呢？果壳网死理性派告诉你，答案是——永远。下面我们就来证明，只要每月新申请摇号的人数达到4万人，中奖需要的平均时间就已经是无穷了。

稍作计算便可得知，如果第一个月便申请摇号，并且假设每月新增摇号人数4万人，则第一个月中奖的概率是1/2，前两个月内中奖的概率就是2/3，容易看出，在前n个月内中奖的概率就是n/(n+1)。我们可以用数学归纳法来证明这一点。假设n=k-1时命题成立，也就是说在前k-1个月内中奖的概率的确是(k-1)/k。由于第k个月的中奖概率是

因此在前k-1个月都没中奖，正好在第k个月中奖了的概率就是

因此，前k个月的中奖概率就是

正好符合我们之前给出的公式。

在前面的推导过程中，我们知道了，在前k-1个月都没中奖，正好在第k个月中奖的概率是

也就是说，有1/(1×2)的概率在第一个月中奖，有1/(2×3)的概率到了第二个月才中奖，有1/(3×4)的概率要到第三个月才中奖，等等。因此，中奖平均需要的时间也就是

而无穷个1/2的和显然是无穷大，因此要想中奖，平均需要无穷多个月！

当然，在这个问题中，绝大多数人都会在一两年内摇中，只是极个别永远摇不上的倒霉蛋把平均时间拖到了无穷远。因此，大家也不必太紧张，几乎所有人中奖所需时间都会早于这个平均值的。