八卦非謎人自迷 - 從一篇數學史論文說開去

該文通過比較翔實的史料回顧了清朝康熙年間，世界有名的大數學家萊布尼茨和在中國的傳教士科學家布韋等人，試圖利用《易經》中八卦圖和二進位數系中自然數的類似表達方法作為根據，去說服康熙皇帝及其左右，以達到他們把中國人轉化為基督徒的目的，同時也重現了萊布尼茨當初試圖把他的二進位運算解釋為「宇宙語言」的勃勃雄心。

該文作者弗蘭克．施維茨是一位數學史家，對中國的數學史特別有興趣。但可能是由於對中國的社會和宗教等背景知識的瞭解不足，這篇長達16頁的論文的「結論」部分卻令人驚訝地貧乏，簡直就沒有「結論」可言。

儘管如此，我們卻發現該文提供的史實不但能給我們有趣而有益的結論，而且為我們提供了一個很好的實例，足以演示比較東西方科學內涵大小的方法，因而明白歷代科學家們在處理東方傳統科學時往往不成功的原因。

為此目的，我們將原文作了最大限度的壓縮，刪去了不影響主題的繁瑣細節，儘可能不涉及過多的專有名詞和人名，以免分散讀者的注意力。而對於一些原文沒有細講、但又特別重要、多數讀者也可能不知道的術語和概念(如二進位數系和八卦圖的基本概念和構成方法)，我們又以「譯注」的形式添加了適當的說明。這樣一來，只要認真閱讀，中學文化以上的讀者都能理解本文的基本內涵了。

下面我們就請讀者欣賞原文的摘要翻譯，然後共同來得出簡單明瞭而又令人驚訝的結論。這一段有趣的歷史文字不包含任何超出中學課本的數學內容，因此讀者一定會讀得輕鬆愉快。

萊布尼茨、《易經》和中國人的宗教轉化
作者：弗蘭克．施維茨
G.W. 萊布尼茨(1646-1716)是一個各種理念的綜合家，一個宗教思想家，也是一個喜歡並如飢似渴地瞭解中國文化的人。他曾經搜尋一種宇宙的語言，來幫助他對全部人類知識進行有序化的探索。在他的搜尋中，他被中國的《易經》所吸引。這一古代經典的概念和符號看來代表了二進位演算法，並由此暗示了一個把上帝和天地萬物聯繫起來的神秘模型。在學習《易經》的過程中，萊布尼茨也捲入了當時在中國的傳教士們試圖把中國人轉化為基督徒的活動。我們在這裡考查數學史上這一奇特的篇章，並討論萊布尼茨是怎樣把數學和哲學、宇宙學、神學，以及玄學聯繫起來的。

1. 萊布尼茨的追求

萊布尼茨確實是一個博學之人 -- 一個全面的天才和歐洲啟蒙運動中知識份子的領袖。雖然一般人都知道他和牛頓各自獨立地發明瞭微積分這一犀利的數學工具，但他在數學以外的很多領域內還享有盛譽。作為一個著名的自然哲學家和打破了經院哲學束縛的科學家，他還是一個積極的試驗家和發明家。

萊布尼茨在自己周圍的世界中搜尋著秩序、結構與和諧。他想發展一種分析化的論證語言，該語言能通過一組基本的人類思想原素的不同組合來表達任何一個概念。如果自然是數學化的，那麼天地萬物也該是數學化的，於是上帝的形象也能藉助於數學而被人們所理解。萊布尼茨便這樣把理性和信仰聯繫起來。

2. 中國的傳教士和《易經》

十三世紀時，馬可．波羅向西方人介紹了自己親眼所見的中國。 他的奇妙、甚至虛構般的描述點燃了西方人心中的好奇和想像。1497-98年，葡萄牙人開闢了直達遠東的通商航線。商人和傳教士開始訪問和觀察這個天朝大國，並把見聞向西方人介紹。1601年，傳教士們到了北京。這些人都是受過良好教育的神父，是天主教中的高級知識階層。他們不但專於神學和哲學，而且熟習許多世俗的學問，因而具有在高等學府中擔任教師和教授的資格。他們的中國主人對於他們的宗教信條和神秘的教義沒有甚麼興趣，但對他們的科學專門知識以及這些知識可能為皇上所用這一點卻確實很欣賞。反過來，傳教士們則發現中國人是一個嚴守紀律和道德的民族，已經具有許多傳教士們希望提倡的精神品質。結果，傳教士們轉變中國人信仰的策略就包含了兩方面的內容：首先，把自己植根於中國文化之中，希望能發現中國文明和基督教之間的確切的聯繫；其次，把所得信息傳播回歐洲，以保持皇室和民眾對中國傳教團的支持。

1685年，中國傳教團請求多派一些科學專門人才去傳教。法國路易十四國王在年內便派了六個耶穌會的科學家去中國。其中一人在泰國被國王留下了，其餘五人到了中國。這五人中有一個姓布韋(Bouvet應該是中文名字叫「湯若望」的人吧？)的，是一位天才而博學的學者，他後來成為當時執政的康熙皇帝及其子女們的私人數學教師。
布韋很快就對中國經典文獻中的玄學理論和宇宙學信仰產生了興趣。尤其是那本據說是最古的中文書《易經》，對他具有特別的魅力。他相信這本預言書是神向人作啟示的工具，或許是一種正在失去的聯繫，一種可以從精神上把基督徒和中國人團結起來的古老神學。

布韋相信《易經》源於伏羲(公元前三千年)。伏羲據說是中國的第一個皇帝，並在黃河邊上有過一次奇遇：他遇到一匹龍馬，給他帶來了八卦圖。伏羲便由八卦獲得了語言和一切事物的知識。據信八卦來自太極，而太極則通過互補的陰和陽這個二元系統控制著一切事物。(譯註：陰和陽在八卦圖中分別以中間斷開和不斷開的橫線來表示。這些橫線都叫作「爻」(讀音同「瑤」)。利用三根橫線(三爻)的不同組合，可以排出8種不同的圖形(8種卦象)，把這8種卦象按一定次序排成一個首尾相連的環形圖，就成為「八卦圖」，簡稱「八卦」。利用六爻的不同組合則能排出64個不同的卦象，其組成的圓環圖則是「六十四卦圖」，但人們習慣上仍然叫它「八卦」。這裡的爻數和卦數的關係是通過中學數學書上講的排列組合公式而來的：2的3次方等於8(2對應陰和陽，3對應爻數，8對應卦數)，2的6次方等於64。但由於八卦中每一卦象自身內涵的完整性，人們一般只把兩個三爻的八卦圖迭加、組合成六爻的六十四卦圖，而不用四爻來作「十六卦圖」或用五爻來作「三十二卦圖」。)

由於充滿智慧而又古老的天朝裡的一切知識都溯源到伏羲和《易經》，布韋認為這位聖王便是中國的精神和智慧之父。他會不會就是猶太 -- 基督信仰中的亞當呢？如果是，則在正確理解的前提下，《易經》就能產生出宗教思想家們正在尋找的古代神學。特別是，他覺得《易經》可以為轉化中國人的宗教信仰提供必要的聯繫。

3. 萊布尼茨的二進位運算

如果上帝是最偉大的數學家，就如當時許多神學家和哲學家所相信的那樣，那麼他用了哪些數來設計這個宇宙呢？關於數基的概念，即把任何數表示為某一特定數字(數基)的冪的和的想法，人們在十六世紀就知道了，並且已能使用不同於十的基。我們通常使用的基為十的數系叫做十進位數系，基為二就叫做二進位數系。英國數學家Thomas Harriot (1560-1621) 就曾經考慮過二進位數系，但當時覺得沒有實用價值。一位西班牙主教在1670年考慮過從二到十二為基的數系。可是，上帝用的是哪個數基呢？曾經是萊布尼茨的數學老師的數學家Weigel認為，答案應該是四。他的答案可能來自當時流行的宇宙學觀念：世間萬物都是由四大原素地、水、火、空(氣)組合而成的。
萊布尼茨卻偏愛二進位。在他看來，那是最簡單、最有效的數系。他在一篇發表於1679 的文章中討論了二進位數學並構造了一個二進位數字計算器。在一年之內，萊布尼茨又為一位公爵規劃了一部這樣的機器，但同時也注意到了在構造上的技術困難。1682 年，他討論了「二進位過程」及其在數論中可能的運用。然而，萊布尼茨對二進位運算的興趣超越了數學而包含了玄學和神學。萊布尼茨在1690年的一篇文章中說，萬物來自虛空：原始的虛空便用0來表示，而作為造物主的上帝就用1來表示，宇宙萬物的形成則來自1和0的組合。到1697年，他把自己的想法和在中國的傳教士進行交流，以便他們能使用他的理論去給予中國皇帝一個深刻的印象。

4. 萊布尼茨的二進位運算和伏羲

因為受到奇特和新穎事物的強烈吸引，萊布尼茨成了一個機敏和如飢似渴的中國文化的愛好者，熱情地收集著來自這一片令人好奇的土地上的信息。他在1668年寫過對中醫的評論文章，後來又參與過對中國語言的討論。在1689年訪問羅馬時，他結識了一位在中國呆了十七年的傳教士，從他哪裡獲得不少關於中國的資料。1697年4月，他編寫了「來自中國的威廉亚洲官网 消息」。當時在巴黎的布韋讀到了他的文章，他們從此建立起通信聯繫。布韋還將自己寫的康熙皇帝的傳記寄給了萊布尼茨。萊布尼茨在給布韋的回信中談到了自己正在尋找的宇宙語言，並提到其可能被用來向中國人傳達基督教的概念。

1698年2月28日，當時布韋還在法國。他向萊布尼茨講了自己的想法，特別強調了伏羲和《易經》的卓絕不凡，認為《易經》中的六爻圖形是神的啟示的知識源泉。他又向萊布尼茨介紹了一本書中的六爻圖形。萊布尼茨對這一理論很感興趣，並於1701年2月15日給布韋的信中詳細介紹了他的二進位運算理論，強調了其中上帝從虛空中創造萬物的內涵，還附了一張用二進位數系表示從0到32的表格。布韋立刻就注意到表中的0和1與伏羲八卦圖中的陰和陽的對應關係。布韋很高興自己的想法得到了證實，並在回信中又附了一張刻版印刷的「先天八卦圖」。伏羲的「先天八卦圖」與後來周文王畫的「後天八卦圖」在六爻的排列次序上是不同的。萊布尼茨的二進位數系中0和1的排列順序則和「先天八卦圖」中的「陰」「陽」排列順序相吻合。布韋是第一個注意到這一聯繫的人。

看到自己的二進位數系與遠古的伏羲「八卦圖」有著良好的對應關係，萊布尼茨在回信中表達了自己的喜悅。他甚至想像，當初伏羲畫「八卦圖」時，說不定心中已經想到了《聖經》中「創世紀」裡的經文。不過，當萊布尼茨把「後天八卦圖」拿來與他的數系比較時，卻發現漫無頭緒，使人深感「迷惑」。

1702年，萊布尼茨採取了一系列步驟來使他的二進位運算在科學界內廣為傳播。在1703年的法國皇家科學院備忘錄上，萊布尼茨發表了「二進位運算的解釋」，除解釋二進位概念外，還指出其在科學考查中的用處，闡述了它與中國的聯繫。作為例子，他用表列出了伏羲「八卦圖」和0到7這八個數字的二進製表示之間的對應。(請參看附表)

5. 共同合作的結果

萊布尼茨在1716年逝世，沒有親眼看到這一重大事件的結局。他也從來沒有和布韋見過面。布韋也一直沒能成功地運用他的理論贏得中國人宗教信仰的轉化，並於1730年逝世。但在一段時間內，兩位富於創造性的思想家卻相信他們發現了聯結東方與西方、過去與現在、以及中國的儒家和歐洲的基督教文明的紐帶。哲學家萊布尼茨認為他發現了人類知識的一個根本來源以及他努力追尋的「宇宙語言」的關鍵。布韋則相信伏羲是第一位預言家，是神的啟示的接受者。在他們的合作中，他們互相補充和加強了各自的信仰。

6. 結論

把伏羲的八卦圖解釋為古代數學知識的重新發現，曾在18世紀初期的知識界引起過一陣轟動。一位雜誌主編在1705年撰文宣稱，中國人失去了六爻圖的真正意義，一位歐洲天才為他們重新發現了這一知識。但幾年後，萊布尼茨對於《易經》及其六爻理論的新發明便幾乎被忘掉了。

在二十世紀初，隨著儒學經典的英文翻譯和《易經》的德文解釋的出現，西方世界對於六爻及其意義的興趣又重新顯露出來。精神分析法奠基者之一的榮格(C.G. Jung)，在自己的文章中讚許了六爻的超自然力量，把他的追隨者們吸引到這一思想中來。儘管他們的解釋有些奇異和怪誕，《易經》及其六爻在數學上仍然具有吸引力，並且提出了一個至今沒有解決的、為六爻的排列順序找出一個數學邏輯的問題。迄今為止已有幾種有趣的理論試圖為此問題提供答案。

萊布尼茨-布韋通信集的重要性，及其與《易經》、六爻和二進位數的關係又重新得到檢驗和研究。從1929年直到1973年，出現了一系列的研究文章。最近，兩位研究者正在準備出版一本英文版帶註解的萊布尼茨-布韋通信集。此書的面世將為廣大讀者提供對於那一段涉及到萊布尼茨、布韋、二進位運算、宗教信仰的轉化、以及《易經》的奇異歷史片段的深入理解。(原文摘譯完)

下面我們就僅僅以上述文章摘譯和對二進位運算、八卦的基本理解為基礎，得出一些簡單明確而又發人深省的結論。

1. 八卦和二進位數系的內涵有天壤之別

當萊布尼茨在他的時代首先想到用0和1來表示世間一切事物時，他的思想無疑是偉大而卓絕的，這一點已經被後來的計算機科學的飛躍發展所證實了：計算機和萊布尼茨的二進位運算機器主要的只是速度快慢的差別。但當萊布尼茨試圖用他的二進位運算來解釋八卦的各種卦象時，他便犯了一個明顯的邏輯錯誤：以小概大。

用二進位數系表示自然數時，其中0和1的排列順序是不可更改的，也就是一個線性序列，因為它所表示的自然數是按線性序排列的。但八卦卦象的排列是環形的，沒有首尾的區別。每一個卦象與自己左右兩邊的卦象的推演關係是確定的，無論把哪個卦象算作第一個，都不影響任何一卦的內涵和它與其它卦象的關係。以三爻組成的八卦圖為例，我們可以從任一卦象處斷開，得到一個卦象的線性序列，一共可得八個不同的這種序列。而其中一個(即「先天八卦圖」)和二進位數系表示的從0到7這八個數的二進製表示法可以完全對應起來(0和陰爻對，1和陽爻對)。換句話說，二進位數系表示的內涵頂多隻是八卦圖表示的內涵的八分之一。對於六爻作成的64卦圖，相應的二進位數系表示法就至多只能表示其64 分之一的內涵。隨著爻數的增加，它們之間所表示的內涵的差別就越來越大。

因此，當萊布尼茨試圖用他的二進位運算來解釋八卦的各種卦象時，他不但是以升量石，而且簡直就是以斗量海！舉例來說吧，把兩個64卦圖重迭、重組一次，就得到由12爻組成的4096卦圖，可以斷開成4096個線性序列，而相應的二進位數系表示法仍然只能對應其中一個，因而只表達其4096分之一的內涵。再重迭一次，就超過一千六百萬倍了。

這兩種表示法之間內涵的重大差別是任何一個稍有邏輯的人都能想到的。但萊布尼茨由於先入為主地把自己心愛的二進位數系當成了「宇宙語言」，因此無論甚麼東西都想用它來解釋，再也顧不上冷靜的邏輯思考了。甚至在他已經遇到了「後天八卦圖」與自己的二進位數系相矛盾時，也沒有抓住使自己明白更大真理的機會。不管多聰明的人，一旦被強烈的執著心矇蔽了智慧，就可能犯一些平時根本不可能犯的錯誤。

2. 如果萊布尼茨說《易經》就是他要找的「宇宙語言」呢？

那他在二進位運算方面的整個辛勤勞動就具有了大得多的價值。用現在的話來說，他的二進位數系就是「先天八卦圖」的一個很好的數學模型。萊布尼茨已經注意到了「後天八卦圖」給他的二進位數繫帶來的麻煩。他實際上馬上就可得出結論說，八卦圖的內涵遠非二進位數系可以完全模擬。然後，他只消放下自己的二進位數系，撿起圓溜溜的八卦圖就得了。但話又說回來，對於八卦圖的內在邏輯的數學表示既然至今也沒有完美的結果，那麼萊布尼茨在當時不能超越時代、認定八卦圖是他要找的「宇宙語言」也就成了歷史的必然了。

3. 「二生萬物」與現代計算機科學

現代計算機科學是從萊布尼茨當初的二進位計算器發展而來的。但從一定的程度上來說，現在計算機科學所作的一切，就是從一個方面演示了「二生萬物」這一道家思想的部分內涵。我們不妨用一個最簡單的方法來說明這一點。

當今人類的全部知識都可以通過某種方法輸入計算機中貯存起來。因此，它們的任何部分都可以用有限個0和1的不同組合來表示。如果把所有這些表示式連接起來，我們就得到一個仍然是由有限個0和1組成的特殊排列。這一表示式可以解讀為二進位數系中的一個數，也可按原來的次序還原為人類的全部知識。假定這一表示式由100億個0和1組成，那它就與100億根爻線排成的2的100億次方個卦象的某一個序列相對應。可以想像，2的100億次方個序列中的一個就記述了迄今人類的全部知識，那它們加起來所能表達的內涵就是一個不可思議的知識的汪洋！

再反過來說「二生萬物」吧。只要存在兩種可以互相區別的最基本的物質元素，則由上述討論可知，通過層層迭加和排列的辦法，就能生成任意多的具有不同性質的新物質來。道家認為萬物來自虛空，即「有生於無」，這個「有」便稱為「一」；然後「一生二」，這個「二」就是「陰」和「陽」。而八卦的推演和構成就可看作對「二生萬物」，即萬物都來自陰陽的一種詮釋。

總而言之，迄今為止人類全部知識的總和，也還是由有限根爻線所畫成的一切可能的卦象組合中的一個而已。我們人類已經走了五千年以上的文明之路，從某種意義來講，我們至今也還沒有走出伏羲所畫的八卦圖去。